韦达定理

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法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,
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韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

即:所有根之和为(n-1)次项系数与n次项系数之比的相反数,所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以(-1)

注:该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行,因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐,是通过将左边的多项式因式分解成

之后,再去括号,比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性,即使是有求根公式的方程,亦可以通过该方法证明韦达定理,而无需借助求根公式。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法,还对n=2、伊比舍维奇3的情形,建立了方程根与系数之间的关系,现代称之为韦达定理。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在求根的对称函数,讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

(a,b,c分别为一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常数项)。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件,韦达定理说明了根与系数的关系。无

。判别式与韦达定理的结合,则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进,它最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展,用字母代替未知数,指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础,对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系,韦达定理应用广泛,在初等数学解析几何平面几何方程论中均有体现。

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